Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Треугольная призма все формулы и примеры задач». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Призма — это любой многогранник, стороны которого имеют форму параллелограмма. Также у его основания может появиться любой многогранник — от треугольника до n-угольника. Кроме того, основания призм всегда совпадают. Это не касается боковых граней — они могут существенно различаться по размеру.
При устранении неисправностей встречается не только область основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, т.е всех граней, не являющихся основанием. Вся поверхность уже будет объединением всех граней, составляющих призму.
Иногда в задачи входит высота. Он перпендикулярен основаниям. Диагональ многогранника — это отрезок, который попарно соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.
Следует отметить, что площадь основания прямой или наклонной призмы не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые формы на верхнем и нижнем краях, их области будут одинаковыми.
Площадь поверхности призмы, онлайн расчет
Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник – от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.
При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.
Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.
Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.
Мы разобрали, как найти площадь основания призмы. Боковая поверхность этой фигуры всегда состоит из параллелограммов. Для прямых призм параллелограммы становятся прямоугольниками, поэтому суммарную их площадь вычислить легко:
S = ∑i=1n(ai*b)
Здесь b — длина бокового ребра, ai — длина стороны i-го прямоугольника, которая совпадает с длиной стороны n-угольника. В случае правильной n-угольной призмы получаем простое выражение:
S = n*a*b
Если призма является наклонной, тогда для определения площади ее боковой поверхности следует сделать перпендикулярный срез, рассчитать его периметр Psr и умножить его на длину бокового ребра.
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.
Четырехугольная призма
Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.
Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.
Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .
В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.
Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 — две диагонали ромба.
Что собой представляет призма?
Перед тем как рассчитывать площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы и других видов этой фигуры, следует разобраться, что они собой представляют. Затем научимся определять интересующие величины.
Призмой, с точки зрения геометрии, называется объемное тело, которое ограничено двумя произвольными одинаковыми многоугольниками и n параллелограммами, где n — это число сторон одного многоугольника. Нарисовать такую фигуру легко, для этого следует изобразить какой-нибудь многоугольник. Потом провести из каждой его вершины отрезок, который будет равен по длине и параллелен всем остальным. Затем требуется соединить концы этих линий между собой так, чтобы получился еще один многоугольник, равный исходному.
Выше видно, что фигура ограничена двумя пятиугольниками (они называются нижним и верхним основаниями фигуры) и пятью параллелограммами, которые на рисунке соответствуют прямоугольникам.
Все призмы отличаются друг от друга двумя главными параметрами:
- типом многоугольника, лежащего в основании фигуры;
- углами между параллелограммами и основаниями.
Количество сторон прямоугольника дает название призме. Отсюда получаем выше упомянутые треугольную, шестиугольную и четырехугольную фигуры.
Также они различаются по величине наклона. Что касается отмеченных углов, то если они равны 90 o , тогда такую призму называют прямой, или прямоугольной (угол наклона равен нулю). Если некоторые из углов прямыми не являются, то фигура зовется косоугольной. Различие между ними видно с первого взгляда. Рисунок ниже демонстрирует эти разновидности.
Указания к решению задач
При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма » подразумевается, что:
Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия — призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Как найти площадь основания призмы
Под объемом многогранника понимают часть пространства, которая заключена между его гранями. Для вычисления объема произвольного вида призмы необходимо воспользоваться той же самой формулой, что и для объема цилиндра. Она имеет следующий вид:
V = So*h
Несмотря на простоту этого выражения, расчет может осложняться тем, что сначала нужно вычислить высоту и площадь основания. Для наклонной призмы с неправильным выпуклым или вогнутым основанием эта задача не является тривиальной и не имеет общего решения. В таком случае следует воспользоваться общим подходом: зная двугранный угол при основании и одну из диагоналей основания или боковое ребро, можно вычислить высоту фигуры; площадь многоугольного основания складывается из площадей элементарных фигур, формулы для которых известны.
Определение призмы в геометрии звучит следующим образом: это пространственная фигура, состоящая из двух одинаковых n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях, соединенных друг с другом своими вершинами.
Получить призму не представляет никакого труда. Представим, что есть два одинаковых n-угольника, где n — это число сторон или вершин. Поместим их так, чтобы они были друг другу параллельны. После этого вершины одного многоугольника следует соединить с соответствующими вершинами другого. Образованная фигура будет состоять из двух n-угольных сторон, которые называются основаниями, и n четырехугольных сторон, представляющих собой в общем случае параллелограммы. Совокупность параллелограммов образует боковую поверхность фигуры.
Существует еще один способ геометрического получения рассматриваемой фигуры. Так, если взять n-угольник и совершить его перенос в другую плоскость при помощи параллельных отрезков равной длины, то в новой плоскости мы получим исходный многоугольник. Оба многоугольника и все параллельные отрезки, проведенные из их вершин, образуют призму.
Рисунок выше демонстрирует Так она называется потому, что ее основания представляют собой треугольники.
Выше было дано определение призмы, из которого понятно, что главными элементами фигуры являются ее грани или стороны, ограничивающие все внутренние точки призмы от внешнего пространства. Любая грань рассматриваемой фигуры принадлежит к одному из двух типов:
- боковая;
- основания.
Боковых n штук, и они являются параллелограммами или их частными видами (прямоугольниками, квадратами). В общем случае боковые грани отличаются друг от друга. Граней основания всего две, они представляют собой n-угольники и друг другу равны. Таким образом, всякая призма имеет n+2 стороны.
Помимо сторон, фигура характеризуется своими вершинами. Они представляют собой точки, где соприкасаются одновременно три грани. Причем две из трех граней всегда принадлежат боковой поверхности, а одна — основанию. Таким образом, в призме нет специально выделенной одной вершины, как, например, в пирамиде, все они являются равноправными. Число вершин фигуры равно 2*n (по n штук для каждого основания).
Наконец, третьим важным элементом призмы являются ее ребра. Это отрезки определенной длины, которые образуются в результате пересечения сторон фигуры. Как и грани, ребра также имеют два разных типа:
- либо образованы только боковыми сторонами;
- либо возникают на стыке параллелограмма и стороны n-угольного основания.
Число ребер, таким образом, равно 3*n, причем 2*n из них относятся ко второму из названных типов.
Выделяют несколько способов классификации призм. Однако все они основаны на двух особенностях фигуры:
- на типе n-угольного основания;
- на типе боковой стороны.
Для начала обратимся ко второй особенности и дадим определение и прямой. Если хотя бы одна боковая сторона является параллелограммом общего типа, то фигура называется наклонной, или косоугольной. Если же все параллелограммы представляют собой прямоугольники или квадраты, то призма будет прямой.
Дать определение можно также несколько иначе: прямая фигура — это та призма, у которой боковые ребра и грани перпендикулярны ее основаниям. На рисунке показаны две четырехугольные фигуры. Левая является прямой, правая — наклонной.
Для описания размеров рассматриваемых фигур используют следующие параметры:
- высота;
- стороны основания;
- длины боковых ребер;
- объемные диагонали;
- диагонали боковых сторон и оснований.
Для правильных призм все названные величины связаны друг с другом. Например, длины боковых ребер одинаковы и равны высоте. Для конкретной n-угольной правильной фигуры существуют формулы, позволяющие по двум любым линейным параметрам определить все остальные.
Совет 1: Как обнаружить площадь основания призмы
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
V = Sосн·h
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
V = a²·h
Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
- длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
- длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
- площадь основания: Sосн = V / h;
- площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.
На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
- Основания ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и параллельны друг другу
- Боковые грани AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, каждая из которых является прямоугольником
- Боковая поверхность — сумма площадей всех боковых граней призмы
- Полная поверхность — сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
- Боковые ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 и DD 1 .
- Диагональ B 1 D
- Диагональ основания BD
- Диагональное сечение BB 1 D 1 D
- Перпендикулярное сечение A 2 B 2 C 2 D 2 .
- Основаниями являются два равных квадрата
- Основания параллельны друг другу
- Боковыми гранями являются прямоугольники
- Боковые грани равны между собой
- Боковые грани перпендикулярны основаниям
- Боковые ребра параллельны между собой и равны
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
- Углы перпендикулярного сечения — прямые
- Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
- Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.
Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.
Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.
Правильная треугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных треугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.
Площадь боковой поверхности четырехугольной и шестиугольной
Воспользуемся формулой выше, чтобы определить необходимые значения для отмеченных трех типов фигур. Расчеты будут выглядеть следующим образом.
Для треугольной формула примет вид:
Например, сторона треугольника равна 10 см, а высота фигуры — 7 см, тогда:
S 3 b = 3*10*7 = 210 см 2
В случае четырехугольной призмы искомое выражение принимает форму:
Если взять те же значения длин, что и в предыдущем примере, тогда получаем:
S 4 b = 4*10*7 = 280 см 2
Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы рассчитывается по формуле:
Подставляя те же числа, что и в предыдущих случаях, имеем:
S 6 b = 6*10*7 = 420 см 2
Заметим, что в случае правильной призмы любого типа ее боковая поверхность образована одинаковыми прямоугольниками. В примерах выше площадь каждого из них составляла a*h = 70 см 2 .
№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.
Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 — н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 — н 2)/2.
Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .
Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .
Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности — 960 см 2 .
№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.
Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.
Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .
Ответ. Площади: основания — 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы — 180 см 2 .
Определение. Призма — это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.
Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .
Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .
Все боковые грани призмы являются параллелограммами.
Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).
Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).
Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .