Topknives.ru

Кухонные аксессуары
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Творческие проекты и работы учащихся

Проект "Теорема Пифагора"

В процессе работы над индивидуальным проектом по математике «Теорема Пифагора» учеником 9 класса гимназии была поставлена и реализована цель рассмотреть практическое применения теоремы Пифагора в разных сферах деятельности человека и областях науки, помимо математики.

Подробнее о проекте:

В готовом творческом и исследовательском проекте по математике «Теорема Пифагора» учащимся дано доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники, а также рассмотрено применение теоремы Пифагора в строительстве, в мобильной связи, в астрономии и в литературе. Школьник рассуждает над актуальностью применения теоремы Пифагора в повседневной жизни человека.

Оглавление

Введение
1. Это интересно знать.
2. Формулировка теоремы Пифагора.
3. Доказательство теоремы.
4. Философские высказывания Пифагора.
5. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.
6. Применение теоремы Пифагора. Строительство.
7. Мобильная связь.
8. Астрономия.
9. Литература.
10. Применение теоремы Пифагора.
Выводы и заключение
Список литературы

Введение

Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. Однако теорема Пифагора проста, но не так очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме этого, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора, можно находить ее новые применения и способы доказательств.

С одной стороны – теорема Пифагора изучается и доказывается в школьном курсе геометрии, а с другой стороны — школьного материала явно недостаточно для того, чтобы показать ее практическую значимость в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Цель работы: Изучение практического применения теоремы Пифагора.

  1. Изучение биографии Пифагора.
  2. Изучение истории появления и развития теоремы Пифагора.
  3. Рассмотрение доказательства теоремы Пифагора.
  4. Подобрать интересные задачи, решаемые с помощью теоремы Пифагора.

Основные методы исследования: Метод исследования, систематизации и обработки данных.

Гипотеза: если теорема Пифагора так популярна и сегодня, то в ней заложены такие основы, которые позволяют использовать ее в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Объект исследования: практическое применение теоремы Пифагора в современной деятельности человека.

Предмет исследования: теорема Пифагора.

Вокруг да около

История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в Википедии .

Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. Из рисунка выше видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, а значит и незакрашенные площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна

, а во втором — площадь незакрашенной области равна

Краткое содержание

Чемодан с четырьмя ручками

Рано утром в гостиницу «Дубки» приехал профессор Громов. Он привез с собой огромный чемодан с четырьмя ручками – «по форме он напоминал футляр контрабаса». Когда Громов остался в номере один, он открыл чемодан, в котором лежал самый обыкновенный мальчик. Но это был кибернетический мальчик по имени Электроник. Профессор включил его в розетку, а сам отправился по делам. Электроник, не выдержав непривычно большого напряжения, выскочил в окно и убежал. Профессор бросился за ним в погоню.

Белый халат или формулы

В большом городе жил самый обыкновенный мальчишка Сережа Сыроежкин: курносый, сероглазый, с вечно растрепанными волосами и ссадинами на худощавом жилистом теле. Его семья переехала в новый дом, и Сережа пошел в новую школу – школу юных кибернетиков в 7 Б класс. Он тут же сообщил отцу, Павлу Антоновичу, что будет конструировать робота, который будет вместо него «ходить в булочную, мыть посуду, готовить обед».

Сережа был очень увлекающимся мальчиком, который никак не мог решить, кем ему быть в будущем. Он неважно учился, и частенько списывал у своего соседа поп парте Вовки Королькова по прозвищу Профессор. Также мальчик дружил с мускулистым крепышом Макаром Гусевым или Гусем.

Кто он, чемпион?

В воскресенье утром Сережа, как обычно, пошел за булками в магазин, затем навестил Королькова, где встретил Гусева. Когда же он вновь вышел на улицу, «неожиданно сильные руки схватили Сережку и подняли высоко вверх». Толпа раскачивала мальчика с криками «Нашли! Нашли! Вот он — чемпион!». Кто-то рассказал Сыроежкину, что на соревнованиях он с легкостью догнал лидера забега и первым пришел к финишу, принеся победу своему району.

Сереже еле вырвался на свободу. На берегу реки он неожиданно для себя увидел мальчика, как две капли воды похожего на него. Так Сережа познакомился с Электроником. Когда они шли вместе, то прохожие были уверены, что близнецы идут куда-то по своим делам.

Читайте так же:
Барный стул название

Фокусник всех времен

Сережа и Электроник весело проводили время в парке, где публику развлекали клоуны, жонглеры и акробаты. Сережа, заметив красивую девочку в голубом, уговорил своего нового друга тоже показать какие-то фокусы, и Электроник стал двигать по сцене рояль, не притрагиваясь к нему, подбрасывать и ловить кольца, заглатывать «часы, авторучки, расчески, кошельки». Публика была в восторге, и девочка в голубом тоже. Неожиданно Электроник развернулся и убежал – его притягивало сильное электромагнитное поле. Сережа поспешил за другом.

Все об Электронике

«Александр Сергеевич Светловидов, ученый-кибернетик», сидел в гостинице «Дубки» и ожидал профессора Громова, который пообещал показать ему какой-то сюрприз, а сам исчез. Все знали, что выдающийся ученый «увлекается на досуге игрушками-автоматами: он собрал говорящего попугая, поющую собачью голову, обезьяну, показывающую фокусы». Светловидов раздумывал над тем, какой сюрприз ему приготовил Гель Иванович.

Как родился Электроник

В номер зашел Громов и рассказал, что сбежал его сюрприз – кибернетический мальчик, который ничем не отличается от обычных живых мальчишек. Светловидов позвонил в милицию с просьбой отыскать Электроника, описав его приметы.

Громов рассказал, что над созданием Электроника трудилась команда из двенадцати ученых. Его тело состояло из микросхем, кожа и мышцы были синтетическими. Профессор рассказал и о красном звере – части Электроника, который также сбежал.

Как учился Электроник

В этот момент позвонили из милиции и сообщили о происшествии в парке. Громов заверил, что все вещи будут возвращены владельцам. Профессор рассказал Светловидову, как Электроника учили писать и читать, каким непростым и долгим был его процесс адаптации к человеческой жизни.

Опять позвонили из милиции и сообщили, что в забеге мальчик, по приметам схожий на Электроника, назвал себя Сережей Сыроежкиным. Профессор попросил задержать его.

Рентген ничего не показал

В милиции Громов узнал, что мальчик проходит рентген для обнаружения проглоченных предметов. Профессор запретил обследовать Электроника, поскольку это «только озадачит врача». Вскоре привели Сережу, который утверждал, что не участвовал в забеге, не глотал никакие предметы, и не знает никакого Электроника. Дело в том, что он ни за что не хотел расставаться с таким чудесным другом как Электроник.

Тайна: «Ты – это я»

Сыроежкин привел друга домой и подключил к трансформатору, предварительно спрятав в шкафу. Утром, когда родители ушли, Сережа выпустил Электроника. Они отлично провели вместе время, пока Сережа не вспомнил, что он не выучил теорему Пифагора. Электроник с легкостью доказал ее и «Сыроежкин смотрел на друга, как на чародея». Он предложил Электронику сходить вместо него в школу и получить пятерку по математике.

«Программист-оптимист»

Придя в школу, Электроник первым делом наткнулся на стенгазету «Программист-оптимист», в которой была статья про Сережу, победившего в забеге. Первым уроком было рисование, но Электроник вместо пейзажа написал трактат о трех векторах, используя лыжников. Учительница была недовольна, и велела ему нарисовать рисунок дома.

Стул невесты

На уроке математике Электроник крайне удивил учителя, сказав, что может «привести двадцать пять доказательств» теоремы Пифагора. Мальчик стал уверенно заполнять школьную доску формулами и рисунками – «класс удивленно замер». Закончил Электроник свою блестящую речь, приведя последнее доказательство теоремы, которое называлось «Стул невесты». Неудивительно, что он получил твердую пятерку.

Три хранителя теоремы

Пока Электроник отдувался на уроках за своего друга, Сережа тем временем спал и видел удивительный сон. Он оказался в двухмерном мире, где все было плоское. Ему пришлось пережить волнительные моменты, пока вернувшийся из школы Электроник не разбудил его.

Первые поражения Электроника

Сережа решил научить своего друга меняться. Он отдал ему все свои сокровища: «космические марки в целлофановом пакетике; десяток значков; перегоревший фонарик величиной с карандаш; две старинные монеты» и многое другое. А затем предложил поменять все эти вещицы у мальчиков. Вскоре вернулся Электроник и принес никому не нужный хлам. Так Сыроежкину пришлось идти к ребятам и возвращать свои богатства.

Возле цирка друзья встретили девочку, которая так понравилась Сереже. Он отправил Электроника с ней познакомиться, и тот дословно выполнил поручение – узнав, что девочку зовут Майя Светлова, он ушел, не продолжив общения, чем очень раздосадовал Сережу.

Код бегемота

Оказавшись в цирке, Электроник принялся удивлять публику и дрессировщика, разговаривая с цирковыми животными на «их» языке и выделывая с ними разные сложные фокусы.

Разговор с гусем и змееносцем

Мальчиком удалось так ловко вдвоем пробраться в квартиру, что родители Сыроежкина ничего не заподозрили. Они всю ночь говорили о всякой всячине. Электроник обучал Сережу «гусиному» языку, назвал точное количество звезд в нашей Галактике, рассказал об универсальном космическом языке.

Хорошо, что собаки не говорят

Сережа решил проверить способности Электроника на дворняге по прозвищу Бешеная колбаса. Однако эксперимент сорвался – едва увидев Электроника, Бешеная колбаса неожиданно «зарычала, и ее шерсть встала дыбом». Она принялась так громко лаять и скулить, что стало понятно – дворняга узнала тайну двух мальчиков.

Читайте так же:
Как разобрать деревянный стул на клею

Гнет тайны: «В конце концов, я человек»

«Странная жизнь настала у Сережки»: с одной стороны, он вел совершенно привольную жизнь, не думая об уроках, но с другой – ему приходилось постоянно прятаться от своих же друзей и родителей. Авторитет Электроника в школе рос не по дням, а по часам, но Сережа успокаивал себя тем, что он человек и может управлять чудо-машиной.

Что значит думать?

На урок математики учитель принес уникальный прибор под названием «Репетитор». Учитель объяснил ребятам, насколько важно уметь логически мыслить, и при этом иметь богатое воображение.

Поединок с «Репетитором»

На следующем уроке ребята должны были испытать «Репетитор», решая предложенные им задачки. Электронику досталась самое сложное задание, и он блестяще с ним справился, а вот учитель математики «был чем-то смущен».

Музыкальное образование

Однажды Корольков привел Электроника к себе в гости. Под давлением бабушки Профессор дважды в неделю занимался игрой на рояле, и всем сердцем ненавидел эти занятия. Электроник же непринужденно сыграл сложную композицию, чем произвел на бабушку Королькова неизгладимое впечатление.

Ели б была машина времени

Сыроежкин устал ото всех скрываться. Он решил уехать в Мурманск, в гости к своему приятелю по летнему лагерю. В разговоре с Электроником он признался, что хочет поработать над машиной времени, на что его друг ответил, что вскоре такое устройство будет изобретено.

Сережа рассказал другу «обо всей своей жизни, что он только о ней знал», чтобы он мог заменить его во время отсутствия. Напоследок Сыроежкин позвонил Майе и предложил попрощаться в Вопросительный день.

Вопросительный день

В Вопросительный день не было уроков, и все ученики могли задавать абсолютно любые вопросы, в том числе и известным людям. Среди прочих ученых присутствовал и профессор Громов, который рассказал ребятам об Электронике. Он был «уверен, что Электроник объявится сам». В этот момент вбежал мальчик с криками: «Постойте! Я все объясню!».

Сыроежкин – это я

Сыроежкин вбежал на трибуну, и тихо произнес: «Сыроежкин — это я…». Все очень удивились, увидев двух абсолютно одинаковых мальчиков – двух Сыроежкиных. При помощи сложных вопросов профессору Громову удалось выяснить, кто из них является настоящим Электроником.

Он смеется

Во время небольшого перерыва «любопытные мигом окружили профессора и Электроника». К Сереже подошел учитель математики и похвалил мальчика за мужество.

Все ребята смеялись и веселились, и только один Электроник не выражал никаких эмоций. Профессор объяснил, что не предусмотрел этого в своем творении. Однако искреннее веселье детворы был настолько искренним, что Электроник улыбнулся и даже запрыгал на одной ножке и прочел стихи собственного сочинения.

Ребята так привыкли к Электронику, что попросили Громова оставить его в школе – помогать учителям, заниматься с учениками, принимать экзамены. Профессор согласился, и все были очень счастливы такому повороту дел.

§ 3. Теорема Пифагора

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 186, а). Докажем, что с 2 = а 2 + b 2 .

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке 186,6. Площадь S этого квадрата равна (a + b) 2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2ab и квадрата со стороной с, поэтому

Таким образом, (а + b) 2 = 2аb + с 2 , откуда с 2 = а 2 + b 2 .

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа- гора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакомились, ещё с одним познакомимся в следующей главе (задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Пусть в треугольнике АВС АВ 2 = АС 2 + ВС 2 . Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник А1В1С1 с прямым Углом С1, у которого А1С1 = АС и В1С1 = ВС. По теореме Пифагора и, значит, . Но АС 2 + ВС 2 = АВ 2 по условию теоремы. Следовательно, , откуда А1В1 = АВ.

Треугольники АВС и А1В1С1 равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C1, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.

Читайте так же:
Растущий стул дэми инструкция по сборке

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 51 = 31 + 41. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами a = 2k • m • n, b = k(m 2 — n 2 ), c = k(m 2 + n 2 ), где k, m и n — любые натуральные числа, такие, что m > n.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы верёвки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.

Формула Герона

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с выражается формулой , где — полупериметр треугольника.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором AB = с, ВС = а, АС = b. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у, НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора a 2 — x 2 = h 2 = b 2 — y 2 , откуда у 2 — х 2 = b 2 — а 2 , или (у — х) (у + х) = b 2 — а 2 . Так как у + х = с, то .

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:

Выведенную нами формулу обычно называют формулой Герона, по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего предположительно в I в. н. э.

Задачи

483. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам а и b:

484. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:

485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

486. В прямоугольнике ABCD найдите:

487. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле где а — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм.

490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

491. По данным катетам а и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) а = 5, b = 12; б) а = 12, b = 16.

492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D) = 60°, АВ = ВС = 8 см; в) ∠C = ∠D) = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9∠2 см.

496. Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = ∠3.

497. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте.

499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

Ответы к задачам

483. а) 10; б) √61; в) 5/7; г) 16.

484. а) 5; б) 4√2; в) 4√3; г) 2; д) 2.

485. .

486. а) 12; б) 2; в) 8.

488. а) 3√3 см; б) см.

489. а) см 2 ; б) 0,36√3 см 2 ; в) 2√3 дм 2 .

490. а) 10 см и 48 см 2 ; б) 6√3 см и 27√3 см 2 ; в) 7√2 см и 49 см 2 .

Свойства прямоугольного треугольника

  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.
Читайте так же:
Что можно сделать из старого офисного стула

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Загадка теоремы адвоката Пьера Ферма: её решали три века и доказали только в 1994 году

О великой загадке Ферма, теореме, которую легко сформулировать и трудно доказать, рассказывают еще в школе. Ферма создал аналитическую геометрию (и привнес в нее алгебраические методы — интегрирование, к примеру), много сделал для теории чисел, но при этом работал юристом и адвокатом, предаваясь увлечению математикой на досуге. Его работы не были опубликованы при жизни. О том, как это получилось, — в нашей истории к 420-летнему юбилею Пьера Ферма.

Юрист с хобби

16 августа 1601 года во Франции, близ Тулузы, в гасконском городке Бомон-де-Ломань, около Монтобана на Тарне, притока Гаронны, у советника Доминика Ферма и его жены Франсуазы родился сын. Советник Ферма был уважаемым и зажиточным человеком, торговцем кожей, но сына захотел выучить в университете: для этого Пьера отправили в Тулузу изучать право. После Тулузы он учился в Бордо и Орлеане и только в 30 лет выпустился из университета адвокатом, но решил перейти на государственную службу и в 1631 году стал советником кассационной палаты Тулузского парламента — проще говоря, принимал прошения от населения. В том же году он женился на дочери советника кассационной палаты Луизе де Лонг и всю жизнь (счастливо или нет) провел в этой должности. У Ферма было пятеро детей, и спокойная провинциальная жизнь способствовала размеренным занятиям — юрист увлекался языками (он был полиглотом) и математикой; спорил с Декартом (о неверном методе решения задач, такт и вежливость Ферма привели спор к дружественному завершению) и приятельствовал с Паскалем.

В 1648 году Ферма стал членом палаты эдиктов в городе Кастр, и в его фамилии появилась частица «де»; во время эпидемии чумы 1652 заболел, но выжил: смерть множества коллег позволила ему стать парламентским судьей; в 1654-м он совершил единственное в жизни путешествие — вот и все обстоятельства его жизни. Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в Кастре, ему было 64. Во время Французской революции его могила оказалась утрачена.

Мир многим обязан старшему сыну Ферма, Клеману-Самуэлю: он издал в 1670-м собрание работ Пьера де Ферма (письма и статьи). Классическое собрание сочинений Ферма в трех томах издано специалистом по истории математики Полем Таннери в Париже в 1896-м.

Мы не знаем — за давностью лет — всех подробностей его бедной на внешние события жизни, но след, оставленный им в математике, таков, что интерес к маленькому чиновнику тулузского органа исполнительной власти, служащему кассационной палаты, не утихает и сегодня. Сравните его с небольшим чиновником современной адвокатской конторы, вообразите состоящим в переписке с лучшими математиками своего времени, и вам хоть отчасти станет понятна личность Пьера Ферма, интриговавшая современников. Пунктами его биографии были открытия, им сделанные.

Интуиция гения

В свободное от работы время Ферма занимался математикой и переписывался с ведущими учеными своего времени. Он был талантлив и обладал научной интуицией: его занимали самые важные вопросы современной науки. Казалось бы, провинциальный адвокат-любитель, чего от него ждать, но с ним состояли в переписке оба Паскаля, Декарт, Кавальери, Торричелли, Гюйгенс.

Ферма работал в разных отраслях математики: ему принадлежат открытия в аналитической геометрии, теории чисел, анализе. Он много сделал для интегрального вычисления: как и Кеплер, он представлял фигуру состоящей из небольших элементов, чтобы каждый можно было приближенно приравнять к фигуре с известной площадью, например треугольнику.

Благодаря своим озарениям Ферма сводил вычисление площади фигуры к задаче алгебраической, к суммированию геометрической прогрессии. Например, как, по Ферма, найти квадратуру гиперболы? Площадь ее стоит мысленно разделить на узкие прямоугольные полосы, а их можно представить прямоугольниками. Площади многоугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, и задача состоит в том, чтобы найти сумму прогрессии — как видите, чисто алгебраический прием. Интересно, что алгебра в те времена слыла математикой второго сорта, подручным средством для нужд математиков, вынужденных обращаться к бытовым вещам, но, по сути, способы Ферма переводят геометрическую задачу на аналитический язык.

Ферма нашел способ находить максимум и минимум функции, то есть предварил дифференциальное исчисление, открытое Ньютоном. Сам Ньютон писал, что работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.

Однако именно Ферма принадлежит создание теории чисел

«Арифметика» Диофанта, изданная в 1621 году во Франции, была настольной книгой Ферма, который внимательно читал и комментировал ее; и заметки на полях Диофанта показывают интуицию гения Ферма и особенности его индукции. Кроме того, Ферма любил сложные арифметические задачи и делился ими с современниками: от магических квадратов и кубов до арифметических теорем.

Тогда же он обнаружил, что

Читайте так же:
К чему ломается стул на котором сидишь

Это открытие получило название малой теоремы Ферма. Сам Ферма в заметках на полях «Арифметики» Диофанта часто оставлял свои догадки без доказательств. Первым математиком, нашедшим доказательство, был Лейбниц, из рукописей которого следует, что открытие сделано до 1683 года, но не опубликовано, так что первое доказательство малой теоремы в 1736 году обнародовал Леонард Эйлер.

Эйлер доказал (1749) ещё одну теорему, сегодня известную как теорему Ферма — Эйлера: доказательство стоило ему 7 лет трудов; сам Ферма доказал ее изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска», опубликованным в 1879 году; тем не менее Эйлер понял принцип по замечаниям в письмах Ферма и успешно его применял.

Но самое знаменитое озарение тулузского любителя математики— Великая теорема Ферма.

Великая — и нерешаемая?

Это самая популярная теорема математики. Её условие просто и может быть понято школьником, но доказательство искали более трёхсот лет и нашли только в 1994 году.

Теорема прославила тулузского юриста. В 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта он написал, что для любого натурального числа n >2 уравнение

не имеет решений в целых ненулевых числах а, b, с.

Снизу Пьер де Ферма приписал, что найденное им доказательство слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Что сказать, и вправду получилось длинновато: доказательство принстонского англо-американского математика Эндрю Уайлса 1994 года заняло 129 страниц в журнале Annals of Mathematics и было опубликовано в 1995 году.

С тех пор как теорема стала известна, многие умы бились над ее решением, существуют некоторые частные способы ее решения. Так, Леонард Эйлер в 1770-м доказал ее для случая n=3, в XIX веке теорему решили для n=5, 7 и для других частных случаев. Но все жаждали полного и красивого общего решения.

Обманчивая простота формулировки и понятность условия принесли Великой теореме известность: ее решение искали именитые математики и любители; теорема считается рекордсменом по количеству неправильных доказательств.

Знаменитый математик Давид Гильберт в 1900 году на Математическом конгрессе отметил, что поиск доказательства для теоремы Ферма изменил и развил всю теорию чисел . За ее решение назначали денежные премии: в 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тысяч немецких марок за верное общее доказательство теоремы. Но Первая мировая война обесценила марку.

Истовые искатели доказательств звались «ферматисты», и многие журналы математики изнемогали под их натиском: в 1972 году журнал «Квант», написавший о теореме, снабдил статью припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию. Многие сегодня мечтают упростить его тяжеловесное доказательство, так что говорить о том, что точка в истории поставлена, пока рано. И вправду — всего 420 лет!

Что такое теорема

Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.

Запомните! !

Теорема — утверждение , которое требует доказательства.

Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.

Примеры формулировок теорем:

  • сумма углов треугольника равна 180 градусов;
  • площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон;
  • теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Важно! Галка

Формулировки аксиом и теорем необходимо учить строго наизусть
без искажений .

Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.

Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.

Что такое лемма

Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.

Запомните! !

Лемма — это вспомогательная теорема , с помощью которой доказываются другие теоремы.

  • если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Что такое следствие в геометрии

Запомните! !

Следствие — утверждение, которое выводится непосредственно из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать .

Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

  • если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
  • если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:

  • аксиомы — фундамент дома;
  • теоремы — основные кирпичи дома;
  • леммы и следствия — вспомогательные кирпичи для упрочнения конструкции.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.

Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector