Topknives.ru

Кухонные аксессуары
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Теорема Пифагора — формула, доказательство и примеры применения

Теорема Пифагора — формула, доказательство и примеры применения

Применение теоремы Пифагора

Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника описывает теорема Пифагора, формула которой позволяет определить неизвестную сторону. Однако возникают случаи, когда это сделать сложно. Причина заключается в отсутствии знаний в области геометрии. Теорему еще называют утверждением или гипотезой, которые следует доказать. Хотя она уже доказана, но порядок доказательства должен знать каждый.

Процедуру следует сделать самостоятельно, поскольку благодаря постоянной практике развивается мышление. Специалисты рекомендуют ознакомиться с теоремами и способами их доказательств, поскольку этот факт может существенно помочь в решении какой-либо сложной задачи. Однако сначала нужно ознакомиться с аксиомами геометрии Евклида.

Формулировка аксиом

Евклидовая, или плоскостная геометрия

Евклидовая, или плоскостная геометрия основана на аксиомах (базовое утверждение или факт) и теоремах. Первой считается утверждение, которое не требует доказательств. Примером такого «термина» является книга. Она является именно «книгой», а не стулом или столом. Иными словами, аксиома — это факт, общепринятый в научных кругах. Можно привести много таких примеров.

Теоремой (утверждением или гипотезой) называется научное предположение, которое нужно доказать каким-либо методом, используя аксиомы и определения. В плоскостной геометрии ученые выделяют пять базовых фактов:

  1. На ограниченном пространстве существует множество точек, а через две из них можно провести только одну прямую.
  2. Если на некотором пространстве, ограниченном плоскостью, существует прямая и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну прямую, параллельную первой.
  3. На любой прямой существует точка, которая лежит между двумя соседними.
  4. Равенство отрезков: если на плоскости существуют три отрезка (угла), причем первый равен второму, а второй — третьему, то все отрезки равны между собой.
  5. Аксиома Архимеда заключается в следующем: если существует произвольная прямая, а на ней лежат два отрезка с тремя точками на каждом, и расстояния между точками одного равны расстояниям между точками другого, то такие отрезки равны между собой.

Чтобы понять первую аксиому евклидовой геометрии, нужно представить некоторую плоскость, ограниченную отрезками.

Точка на листе

Примером может послужить обыкновенный лист бумаги. На нем можно отметить любую точку. Далее можно отметить еще одну и провести через нее прямую.

После этого можно отметить еще одну точку, которая не должна лежать на прямой. Затем необходимо отметить вторую так, чтобы через нее можно было провести параллельную прямую исходной. Если отметить еще одну точку и попробовать провести еще одну прямую, то она не будет параллельна первой. Далее необходимо отметить на любой из двух прямых точку, которая будет лежать между двумя другими. Если продолжить эти действия, то можно сделать вывод о достоверности утверждения.

Читайте так же:
Площадь поверхности письменного стола

После этого можно провести еще одну прямую. На листе бумаги их будет три. Затем следует отметить на каждой отрезки: первый должен быть равен второму, а второй — третьему. Померив их, можно самостоятельно сделать вывод о равенстве третьего первому.

Элементарные фигуры

Фигура прямая

Точка в геометрии считается базовой единицей. С ее помощью формируются более сложные фигуры, к которым относятся прямая, луч и отрезок. Первой называется бесконечная линия, не имеющая начала и конца. Она является плоской и лежит всегда только в одной плоскости. Это утверждение справедливо только для евклидовой геометрии. В науке об объемных телах прямая может существовать одновременно в нескольких плоскостях, поскольку происходит преломление из-за времени и искажений (аномальных зон).

Лучом называется фигура, у которой есть начало (исходит из некоторой точки), но нет конца. Отрезком называется линия, ограниченная с двух сторон некоторыми точками. Последние называются границами. Каждый элемент применяется для построения фигур. Луч и отрезок могут лежать на прямой. В некоторых случаях отрезок также может входить в состав луча.

Семья и юность

Точную дату рождения Пифагора определить невозможно, судить о ней и о его жизни в целом можно лишь по рукописным источникам об учениях философа, самый ранний из которых появился лишь через 200 лет после его смерти. Предполагается, что Пифагор родился примерно в 570 до н. э. на греческом острове Самос. Папа, его звали Мнесарх, был камнерезом. Мама носила имя Партенида. Известно, что она была из благородной семьи, предок которой основал греческую колонию на Самосе.

Плен в Вавилоне

Плен в Вавилоне

Согласно одной из легенд, когда Пифагору исполнилось 18 лет, он покинул родной дом и отправился в Египет, чтобы набраться мудрости у местных жрецов. Там будущий философ изучал медицину и математику на протяжении 20 лет. Потом его взял в плен персидский властитель Камбис и увёл в Вавилон. В качестве узника Пифагор провёл ещё 12 лет, часто взаимодействуя с магами, и лишь потом вернулся на родной Самос. Уже в тот период местные жители признали 56-летнего Пифагора самым мудрым человеком в мире.

Вернувшись на родину, Пифагор стал преподавать свои идеи и учения. Вскоре о нём заговорила вся Греция. Люди с разных уголков страны съезжались на Самос, чтобы только увидеть и услышать мудрейшего философа. Со временем Пифагора стали привлекать к общественным делам. Утомившись от повышенного внимания и удручавшей его работы, он снова покидает остров и отправляется в Южную Италию.

Читайте так же:
Циркуляционный стол для хлеба

Школа Пифагора

Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики.

Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора.

Школа Пифагора

Многое сделал ученый и в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически — как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты, и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.

Читайте так же:
Как будет на аварском стол

О чем сериал «Теорема Пифагора» сюжет фильма

По сюжету женщина-психолог за годы успешной работы выстроила идеальную семью. Под ее чутким руководством супруг преуспевает в бизнесе, а дочь приносит из школы одни пятерки. Но помогут ли главной героине все ее академические знания, когда в размеренную жизнь ворвется простоватая провинциальная девушка?

Новый персонаж в одночасье ломает идеальный брак. Муж бросает семью, а примерная дочь выходит из-под контроля. И как теперь после стольких лет выверенной по минуткам жизни подстроиться под этот хаос? Неужели домашняя идиллия все это время была лишь иллюзией?

Задача «Пифагоровы треугольники»

В теории чисел теорема Пифагора стала источником плодотворной идеи: найти целочисленные решения алгебраических уравнений.

Пифагорова тройка — это набор целых чисел a, b и c, таких что: a 2 + b 2 = c 2 . Геометрически такая тройка определяет прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами. Самая маленькая гипотенуза пифагоровой тройки равна 5. Другие две стороны этого треугольника равны 3 и 4. Здесь 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .

Пифагоров треугольник с этими сторонами известен с глубокой древности. Он называется египетским, и использовался для построения прямого угла на местности. Вместо вычерчивания применялась верёвка, разделённая 12 узлами на равные части, которая натягивалась на 3 колышка.

Пифагорова тройка (a, b, c) называется примитивной, если она не может быть получена делением всех сторон на целое число из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если (a , b , c) являются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общий делитель (НОД) примитивной пифагоровой тройки ( a, b, c ) равен 1.

Как вы думаете, много ли найдется таких троек?

Постановка задачи

Требуется найти все примитивные тройки, для которых длина катетов не превышает некоторого заданного числа k, упорядочить тройки по возрастанию площади соответствующих треугольников, вывести их на печать и подсчитать общее число таких троек.

Алгоритм решения

Создадим структуру pif1 c полями a, b,c, s и методом print_P(). Инициализируем массив pif3 , элементами которого будут структуры pif1.

Для поиска (метод static int poisk3(int k)) будем используем прямой перебор и два цикла. В первом цикле a изменяется от 3 до k, а во втором (внутреннем) цикле b изменяется от 4 до k. Если гипотенуза такого треугольника является целым числом, то вычисляется его площадь s, и такой треугольник запоминается в массив pif3.

После этого выполняется упорядочивание массива по возрастанию (по полю s, метод sort3(n)). Очевидно, что сортировка может быть выполнена по любому другому полю, например по гипотенузе с.

При выводе троек (метод output3(n) c использованием print_P() ) выводятся только те, у которых НОД=1 (дважды применяется метод «Наибольший общий делитель» nod(x, y) ).

Читайте так же:
Кронштейн для крепления денежного ящика под стол

Максимальная длина катетов задается первыми двумя операторами метода Main(), после чего выполняется поиск, сортировка и вывод результатов.

Программная реализация

Результат44

Задание

Исследуйте, как изменяется результат в зависимости от максимальной длины катета k. Обратите внимание на время решения задачи T (используйте секундомер). Является ли зависимость T=f (k) линейной, т.е. действительно ли T

Иные способы выведения прямого угла

Если нет желания заниматься выведением углов самостоятельно, а финансы позволяют обратиться за помощью к специалистам, можно вообще не думать об этом вопросе. Один звонок − и на участке уже находится геодезист с теоделитом, который в сжатые сроки сделает разметку. Однако в этом случае необходимо быть готовым к внушительным затратам на оплату его труда.

Теоделит – высокоточная техника, однако стоимость подобной разметки может влететь «в копеечку»

ФОТО: omegagalvanoplastia.com.br Теоделит – высокоточная техника, однако стоимость подобной разметки может влететь «в копеечку»

Если говорить о минимальных затратах, то, основываясь на прайс-листах фирм, оказывающих подобные услуги, вызов и работа геодезиста с инструментом обойдётся в 1 000 руб./час при минимальной оплате 7 000 руб. Дальше − больше. Разметка осей (2 точки) – ещё 3 000 рублей. Если же потребуется определить точные координаты по GPS, то здесь каждые три точки обойдутся владельцу в 5 000 руб. Можно посчитать, какова будет общая сумма (все цены указаны с учётом на конец сентября 2020 года). Не проще ли самому произвести все необходимые разметки? Ведь сэкономленные средства всегда можно потратить на что-то полезное в дальнейшем строительстве.

Стоит приготовиться к тому, что карман значительно облегчится

ФОТО: thelundreport.org Стоит приготовиться к тому, что карман значительно облегчится

4.Основные тригонометрические тождества

Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)

Рис.4 Основные тригонометрические тождества.

5.Пример 1

У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м.

Пример 2

Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

Решение:

Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

Читайте так же:
Низкий японский столик название

По теореме Пифагора:

АВ 2 = AE 2 + BE 2

Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции.

Пример 3

Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

Доказательство:

Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

АС = АВ сos α + ВС cos β

Тогда отрезок DE будет равен:

DE = DB сos α + ВE cos β

Так как DB Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками.

Пример 4

Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.

Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности.

Пример 5

Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

Доказательство:

Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС АВ + СB1 = AE + CE1,

Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector