Topknives.ru

Кухонные аксессуары
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Физический смысл момента инерции

Физический смысл момента инерции

Когда тело продолжает двигаться при отсутствии на него воздействия каких-либо сил, говорят о проявлении инерции. Именно ею объясняются трудности удержаться на ногах при резком торможении автобуса или усидеть в седле велосипеда, когда под колеса резко выбегает кот. Кроме инерции, проявляющейся при движении тел по прямой, аналогичное явление бывает при вращении вокруг оси. В таком случае в физике говорят о моменте инерции – скалярной величине, измеряющей инертность тела при осевом вращении.

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

Масса - мера инертности тела

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

физика инерция формулы

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

определение момента инерции

Момент инерции относительно O1

Момент инерции стержня и диска

В первую очередь выпишем общую формулу. Имеем:

Обозначим площадь сечения стержня буквой S. Очевидно, что она стремится к нулю, поскольку стержень тонкий. Но это обозначение удобно ввести для выполнения дальнейших расчетов.

Теперь мысленно разобьем стержень на бесконечное количество мелких кусочков, каждый из которых будет иметь сечение S и толщину dl. Заменяя r на l в формуле выше, получаем:

Остается только подставить правильные пределы интегрирования и записать конечную формулу. Поскольку ось O1 проходит через середину стержня, то пределы интегрирования будут следующими:

Результатом вычисления этого интеграла является следующая формула:

Таким образом, момент инерции тонкого стержня определяется его массой и длиной.

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

Читайте так же:
Вешалка для одежды история происхождения

Теорема Штайнера

Где d – расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

Что такое вращательное движение тела Момент силы Момент инерции

Движение, при котором все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, с центрами, расположенными на одной неподвижной прямой, называется вращательным движением тела.

Прямая О’О» (рис. 2, а) называется осью вращения. Угловая скорость для всех точек вращающегося тела одинакова, линейные скорости различны: чем дальше расположена точка от центра вращения, тем больше ее линейная скорость.

Для того чтобы вызвать вращение тела, к нему надо приложить силу F, которая:

  1. Действует в плоскости Р, перпендикулярной оси вращения.
  2. Не проходит через эту ось.
  3. Направлена под прямым углом к радиусу r, проведенному от оси вращения О’О» к точке приложения силы. При этом действие силы тем значительнее, чем дальше расположена точка ее приложения от оси вращения.

Это учитывается с помощью величины, называемой вращающим моментом или просто моментом силы.

Момент силы

Движение тела называется вращательным, если все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной прямой, называемой осью вращения.

Колеса всевозможных машин и механизмов могут вращаться вокруг неподвижной оси; пропеллер самолета, колодезный «журавль», дверь на петлях, откидная крышка школьной парты представляют собой примеры того же случая.

Если вначале тело покоится, то, чтобы вызвать вращение, необходимо подействовать на тело с некоторой силой. Однако не всякая приложенная сила вызовет вращение тела.

Силы, одинаковые по величине, но различные по направлению или приложенные в разных точках, могут вызвать весьма различные эффекты.

Оказывается, сила момента сейчас, действующая на тело, закрепленное на оси, только тогда может вызвать его вращение, когда направление силы не проходит через ось.

Сила, направленная параллельно оси вращения, также не вызывает вращение тела, а только стремится изогнуть ось.

От чего зависит действие силы

От чего зависит действие силы

Вращающее действие силы зависит не только от ее величины, но и от расстояния между осью вращения и прямой, по которой действует сила.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, по которой действует сила, называется плечом силы.

На рис. плечо силы обозначено буквой l. Величина, характеризующая вращающее действие силы, называется моментом силы и обозначается буквой М. Момент силы измеряется произведением силы на плечо (момент силы формула):

Момент силы — векторная величина. Направление вектора М определяется поступательным движением буравчика, расположенного вдоль оси вращения, если направление вращения его головки совпадает с направлением действующей силы.

Читайте так же:
Что можно поставить в угол прихожей

В СИ за единицу момента силы принимается момент силы в один ньютон, имеющий плечо в один метр

Чтобы отличить моменты сил, создающих вращение в противоположные стороны, условились считать моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки, положительными, а моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке,— отрицательными.

Момент силы, направленной вдоль прямой, проходящей через ось вращения, равен нулю (так как l = 0).

Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, надо стараться приложить силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем самым плечо силы и соответственно уменьшая величину силы.

Не случайно дверная ручка закреплена на наибольшем расстоянии от оси вращения

Момент силы относительно центра вращения

alt=»Момент силы относительно центра вращения» width=»200″ height=»76″ />Момент силы М относительно центра вращения в общем случае называют векторную величину, численно равную произведению силы F на длину d перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направ ление силы, который называют плечом силы (рис. 2, б) (в нашем случае плечом силы F является радиус r, проведенный из центра вращения О к точке приложения силы — рис. 2, а).

Вектор М момента силы приложен к центру О окружности и направлен вдоль оси вращения в направлении, определяемом по «правилу буравчика».

Если под действием момента силы тело по отношению к наблюдателю вращается по часовой стрелке (рис. 2, а), то момент считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Плечо силыЕсли на теле действует несколько моментов сил, то они складываются алгебраически (т. е. с учетом знака момента).

Для того чтобы тело, имеющее ось вращения, находилось в равновесии, алгебраическая сумма моментов, действующих на него, должна равняться нулю.

Инерция вращающегося тела

Аналогично тому как действие силы при вращательном движении за висит от плеча силы, так и инерция вращающегося тела зависит от располо жения его массы относительно оси вращения.

Чем дальше от оси вращения расположена масса тела, тем больше ее инерция. Это можно продемонстри ровать с помощью прибора, показанного на рис. 3. На стойке П укреплен блок Б с четырьмя стержнями, по которым могут передвигаться грузы М.

На блок намотана нить, на конце которой подвешена гиря Г. Натяжение нити создает на оси блока вращающий момент, постоянный по величине, под действием которого блок со стержнями приводится во вращение.

Ускорение блока можно определить путем наблюдения времени, в течение которого гиря Г опускается на определенное расстояние, отмечаемое по шкале Ш. Это ускорение зависит от инерции блока.

Если грузы М расположены близко от оси вращения, блок имеет небольшую инерцию и гиря опускается очень быстро. Если передвинуть грузы к краям стержней в положение М’, то инерция блока увеличится и гиря будет опускаться заметно медленнее.

Читайте так же:
Жижа для вейпа отстирывается ли от одежды

Как увеличить инерцию

Как увеличить инерциюДля того чтобы учитывать инерцию при вращательном движении тела, пользуются величиной, называемой моментом инерции.

Момент инерции j для тела достаточно малой массы m относительно оси, находящейся на расстоянии r от центра масс тела (рис. 4), численно равняется произведению этой массы на квадрат расстояния:

Напомним, что центром масс (или центром тяжести) тела называют точку, в которой может быть приложена равнодействующая силы тяжести всех отдельных частей тела.

Для тел сплошных, однородных, правильной геометрической формы центр масс совпадает с геометрическим центром.

Центр масс тела человека находится в сагиттальной плоскости несколько впереди второго крестцового позвонка.

Вычисление момента инерции

Для вычисления момента инерции какого-либо тела его разделяют на множество достаточно малых по массе элементов, для каждого из них вычисляют момент инерции j относительно заданной оси вращения и затем последние суммируют.

Момент инерции в системе СИ измеряется в кгм 2 , в СГС — гсм 2 . Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы могут быть вычислены по известным формулам.

Например, для однородного цилиндра относительно продольной оси: J = (1/2) тr 2 , где т — масса иr — радиус цилиндра.

Для однородного шара с массой т и радиусом r момент инерции относительно оси, проходящей через центр шара:

J = (2/5) mr 2 .

Для тел неоднородных или сложной геометрической формы момент инерции обычно определяется опытным путем.

Если вращательное движение тела происходит равноускоренно, то оно характеризуется угловым и линейным ускорениями.

Угловое ускорение ε измеряется отношением изменения ∆ω угловой скорости за достаточно малый промежуток времени ∆t к этому промежутку:

Единицы измерения

Единицей измерения углового ускорения является рад/сек 2 или 1/ сек 2 .

Линейное ускорение а какой-либо точки тела равняется произведению углового ускорения ε на расстояние r точки от оси вращения:

а = εr = ( ∆ω/∆t)r.

Единица измерения в системе СГС см/сек 2 , в системе СИ м/сек 2 При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение ε прямо пропорционально приложенному моменту силы М и обратно пропорционально моменту инерции J тела:

ε = M/J , откуда М = εJ = J ( ∆ω/∆t).

Эта зависимость выражает второй закон Ньютона применительно к вращательному движению и называется основным уравнением вращательного движения.

Определим кинетическую энергию Ек тела достаточно малой массы m, вращающегося равномерно с угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси, находящейся на расстоянии г от центра масс тела. По общему правилу:

Eк = (mυ 2 )/2 = (m ω 2 r 2 )/2 = j(ω 2 /2)

Для вычисления кинетической энергии Ек вращающегося тела с массой М его надо разделить на множество достаточно малых по массе элементов, вычислить для каждого из них кинетическую энергию Ек и затем суммировать:

Читайте так же:
Как рисовать лавочки

Eк = Е’к1 + Е’к2 + … = j1 (ω 2 /2) + j(ω 2 /2) + … = ω 2 /2(j1 + j2 + …) = J(ω 2 /2)

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равняется половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

Правило моментов

Вернемся к нашим баранам качелям. Мы умудряемся на них качаться, потому что существует вращательное действие — момент. Силы, с которыми мы действуем на разные стороны этих качелей могут быть разными, но вот моменты должны быть одинаковыми.

Правило моментов говорит о том, что если рычаг не вращается, то сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке.

Это условие выполняется относительно любой точки.

Правило моментов

M1 + M2 +. + Mn = M’1 + M’2 +. + M’n

M1 + M2 +. + Mn — сумма моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке [Н*м]

Давайте рассмотрим этот закон на примере задач.

Задача 1

К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг.

задача для самопроверки

Стержень расположили на опоре, отстоящей от его левого конца на 0,2 длины стержня. Чему равна масса груза, который надо подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?

Решение:

Одним из условий равновесия стержня является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры. Момент, создаваемый левым грузом равен mgL5 он вращает стержень против часовой стрелки. Момент, создаваемый правым грузом:Mg4L5 — он вращает по часовой.

решение задачи

Приравнивая моменты, получаем, что для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой
M = m : 4 = 3 : 4 = 0,75 кг

Ответ: для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой 0,75 кг

Задача 2

Путешественник несёт мешок с вещами на лёгкой палке. Чтобы удержать в равновесии груз весом 80 Н, он прикладывает к концу B палки вертикальную силу 30 Н. OB = 80 см. Чему равно OA?

задача рис 2

Решение:

По правилу рычага: FB/FA=|OA|/|OB| где FA и FB — силы, приложенные соответственно к точкам A и B. Выразим длину OA:

Ответ: расстояние ОА равно 30 см

Задача 3

Тело массой 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?

решение задачи рис 2

Решение:

По правилу рычага m1g*l1=m2g*l2

Отсюда m2=l1/l2*m1=3/2*0,2 = 0,3 кг

Ответ: Масса груза равна 0,3 кг

Задача 4

На железной дороге для натяжения проводов используется показанная на рисунке система, состоящая из легких блоков и тросов, натягиваемых тяжелым грузом. Чему равна сила натяжения провода?

задача рис3

Решение:

решение рис3

Система на рисунке состоит из трех блоков: двух подвижных и одного неподвижного. Назначение неподвижного блока заключается только в том, что он меняет направление действия силы, однако никакого выигрыша в силе при этом не возникает. Каждый подвижный блок, напротив, дает выигрыш в силе.

Читайте так же:
Каким раствором протирают полки для хранения хлеба

Определим силу, с которой натянута первая нить. Груз растягивает ее с силой:
T = mg = 10*10 = 100 Н

Рассмотрим теперь первый подвижный блок. Так как вся система статична, полная сила, действующая на этот блок, должна быть равна нулю. Первая нить тянет его направо с суммарной силой 2T, значит, натяжение второй нити тоже должно быть равно 2T (вот он — выигрыш в силе). Аналогичное рассмотрение для второго подвижного блока показывает, что натяжение провода должно быть равно

Ответ: натяжение провода равно 400 Н

Задача 5 — a.k.a самая сложная задачка

Под действием силы тяжести mg груза и силы F рычаг, представленный на рисунке, находится в равновесии. Вектор силы F перпендикулярен рычагу, груз на плоскость не давит. Расстояния между точками приложения сил и точкой опоры, а также проекции этих расстояний на вертикальную и горизонтальную оси указаны на рисунке.

задача рис4

Если модуль силы F равен 120 Н, то каков модуль силы тяжести, действующей на груз?

Решение:

Одним из условий равновесия рычага является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно опоры рычага. Момент, создаваемый силой F, равен F*5 м и он вращает рычаг по часовой стрелке. Момент, создаваемый грузом относительно этой точки — mg*0,8 м, он вращает против часовой. Приравнивая моменты, получаем выражение для модуля силы тяжести

Советы для максимальной эффективности

  • Обязательно перед выполнением упражнения книжка нужно выполнить комплекс РАЗМИНОЧНЫХ УПРАЖНЕНИЙ. Особое внимание уделяем тазобедренным суставам, а также шейному и поясничному отделу позвоночника.
  • Основной упор ставиться на технику упражнение, а не количеству раз в подходе. Лучше сделать 5-10 качественных повторений, чем 15-20 лишь бы уложиться в нужные цифры жертвуя своей спиной.
  • Подберите из представленных выше вариантов ток, который максимально подходит для вас. Главное это почувствовать работу мышц живота.
  • По мере тренированности меняйте угол наклона туловища, постепенно увеличивая амплитуду скручивания. Тут главное не переусердствовать. Все же прямая мышца живота имеет ограниченную амплитуду и она не так уже велика, как некоторые ее себе представляют.
  • Обязательно в конце тренировке выполните ЗАМИНКУ, растянув те мышцы которые были задействованы в тренировочном процессе. В нашем случае это кор.

Теперь вы узнали чуть больше об упражнении книжка. Если вы будете выполнять только его, то можете рассчитывать на укрепления мышц пресса. Главное соблюдайте технику, никуда не спешите. Помните качество превыше всего!

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector